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朴素极限思想的萌芽

基础部 宋冬梅

  从朴素极限思想的产生到严格极限概念的建立大约经历了两千多年。我们不可能在很短的篇幅内详尽而细致地表述这段历史,只能简要地介绍它的大致过程,本篇文章先简要介绍朴素极限思想的萌芽。

  从公元前5世纪开始,一些古代的哲学家和数学家在研究关于无限性的哲学问题和数学问题时,已经朴素极限思想的萌芽
产生了一些朴素极限思想。

  例如,古希腊雅典时期的形而上学学者Zeno(芝诺,约公元前490-约公元前430)对无限性、连续性问题进行探索时,提出了四个著名的悖论,其中大家所熟知的关于“神行太保”Achilles(阿基里斯)永远追不上乌龟的悖论是这样说的:设想一只乌龟与Achilles赛跑,乌龟的出发点位于Achilles之前A0处。当Achilles跑到A0时,乌龟爬到了A1;当Achilles跑到A1时,乌龟爬到了A2;……,以此类推,Achilles永远追不上乌龟。尽管这是一个明显错误的结论,但在没有极限概念的古代,是很难解释清楚的,因为在这个悖论中,将整个过程分割成无限多个有限过程。但是在今天,利用极限或无穷级数的知识不难说明,完成这个无限过程所走过的总路程是有限的,所用的时间也是有限的,所以,Achilles是可以追上乌龟的。

  例如,据我国古代《庄子.天下篇》中记载,公元前3世纪,梁国的宰相惠施(以善辩著称的名家)说过:

  “一尺之棰,日取其半,万世不竭”

  意思是一根一尺长的棒,每天截取它长度的一半,虽然越来越短,但却永远截不完。这段话描述了一个趋于零而不等于零的无限过程。用现在的数学语言来描述,就是剩余棒长构成一个以零为极限的无穷数列

  例如,古希腊雅典时期的诡辩学派的代表人物Antiphon(安蒂丰,约公元前480-约公元前411)为解决“化圆为方”(作一个于给定的圆面积相等的正方形)问题,首先提出了用圆的内接正多边形面积来逼近圆面积的思想(称为“穷竭法”),后来被古希腊著名的应用数学家Archimedes(阿基米德,公元前287-公元前212)用于求抛物线图形面积。

  例如,我国魏晋时期的数学家刘徽(约225-295)在对《九章算术》作注中提出“割圆术”作为计算圆周长、圆面积以及圆周率的基础,基本思想也是用内接正多边形逐步逼近圆。书中指出:

  “割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”。他用这种方法求得的圆周率

被后人称为“徽率”。

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